2013 Multi-University Training Contest 5 Partition-白红宇

2013 Multi-University Training Contest 5 Partition

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发布时间：2019-06-12

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思路：五边形数定理！！！

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理，描述欧拉函数展开式的特性。欧拉函数的展开式如下：

$\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kx^{k(3k\pm 1)/2}.$

亦即

$(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots.$

欧拉函数展开后，有些次方项被消去，只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次，留下来的次方恰为广义五边形数。

若将上式视为幂级数，其收敛半径为1，不过若只是当作形式幂级数（formal power series）来考虑，就不会考虑其收敛半径。

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数，亦即：

$\frac{1}{\phi(x)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) x^k$

其中 $p(k)$ 为k的分割函数。

上式配合五边形数定理，可以得到

$(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)(1 + p(1)x + p(2)x^2 + p(3)x^3 + \cdots)=1$

考虑 $x^n$ 项的系数，在 n>0 时，等式右侧的系数均为0，比较等式二侧的系数，可得

$p(n) - p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-7) + \cdots=0$

因此可得到分割函数p(n)的递归式

$p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + \cdots$

以n=10为例

$p(10) = p(9) + p(8) - p(5) - p(3) = 30 + 22 - 7 - 3 = 42$

这就是所求的了，当n<0时，p(n)=0;

p(n)的其他性质：

当限定将 $n$ 表示成刚好 $k$ 个正整数之和时，可以表示为 $p_k(n)$ 。显然， $p(n) = \sum_{k=1}^{n} p_k(n)$ 。

对于 $n>1$ ， $p_n(n) = p_1(n) = 1$

$p_2(n) = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ ()

$p_3(n)$ = 最接近 $\frac{n^2}{12}$ 的正整数。()

$p_{n-1}(n) = C(n,2)$

$p_k(n) = p_{k-1}(n-1) + p_k(n-k)$

代码如下：

1 #include
      
        2 #include
       
         3 #include
        
          4 #include
         
           5 #include
          
            6 #include
           
             7 #include
            
              8 #define ll __int64 9 #define pi acos(-1.0)10 #define MAX 10000111 using namespace std;12 const int mod=1000000007;13 int an[MAX],n,t;14 void init(){15 int i,j;16 an[0]=an[1]=1;17 an[2]=2;an[3]=3;an[4]=5;18 an[5]=7;19 for(i=6;i